Lutasin ang {l}{3x-2y=0}{2x+3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 0 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = \frac{27}{13} = 2\frac{1}{13} \approx 2.076923077$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-2y=0,2x+3y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-2y=0$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=2y$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 2y.

$$x=\frac{2}{3}y$$

I-substitute ang \frac{2y}{3} para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=9.

$$2\times \frac{2}{3}y+3y=9$$

I-multiply ang 2 times \frac{2y}{3}.

$$\frac{4}{3}y+3y=9$$

Idagdag ang \frac{4y}{3} sa 3y.

$$\frac{13}{3}y=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{13}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{27}{13}$$

I-substitute ang \frac{27}{13} para sa y sa x=\frac{2}{3}y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{27}{13}$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times \frac{27}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{18}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{27}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-2y=0,2x+3y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 9\\\frac{3}{13}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\\frac{27}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{27}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-2y=0,2x+3y=9$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=0,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

Pasimplehin.

$$6x-4y=0,6x+9y=27$$

I-subtract ang 6x+9y=27 mula sa 6x-4y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-4y-9y=-27$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y-9y=-27$$

Idagdag ang -4y sa -9y.

$$-13y=-27$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$y=\frac{27}{13}$$

I-substitute ang \frac{27}{13} para sa y sa 2x+3y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+3\times \frac{27}{13}=9$$

I-multiply ang 3 times \frac{27}{13}.

$$2x+\frac{81}{13}=9$$

I-subtract ang \frac{81}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{36}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{18}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{27}{13}$$