Lutasin ang {l}{3x+y=3}{5x-y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 3 } \\ { 5 x - y = 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = -\frac{15}{4} = -3\frac{3}{4} = -3.75$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+y=3$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-y+3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -y+3.

$$x=-\frac{1}{3}y+1$$

I-substitute ang -\frac{y}{3}+1 para sa x sa kabilang equation na 5x-y=15.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+1\right)-y=15$$

I-multiply ang 5 times -\frac{y}{3}+1.

$$-\frac{5}{3}y+5-y=15$$

Idagdag ang -\frac{5y}{3} sa -y.

$$-\frac{8}{3}y+5=15$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{8}{3}y=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{8}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{15}{4}$$

I-substitute ang -\frac{15}{4} para sa y sa x=-\frac{1}{3}y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{15}{4}\right)+1$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -\frac{15}{4} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{5}{4}+1$$

Idagdag ang 1 sa \frac{5}{4}.

$$x=\frac{9}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 3+\frac{1}{8}\times 15\\\frac{5}{8}\times 3-\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{15}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$5\times 3x+5y=5\times 3,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 15$$

Pasimplehin.

$$15x+5y=15,15x-3y=45$$

I-subtract ang 15x-3y=45 mula sa 15x+5y=15 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x+5y+3y=15-45$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y+3y=15-45$$

Idagdag ang 5y sa 3y.

$$8y=15-45$$

Idagdag ang 15 sa -45.

$$8y=-30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=-\frac{15}{4}$$

I-substitute ang -\frac{15}{4} para sa y sa 5x-y=15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-\left(-\frac{15}{4}\right)=15$$

I-subtract ang \frac{15}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=\frac{45}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{9}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$