Lutasin ang {l}{3x+y=-1}{x+5y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = - 1 } \\ { x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+y=-1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-y-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -y-1.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

I-substitute ang \frac{-y-1}{3} para sa x sa kabilang equation na x+5y=9.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}+5y=9$$

Idagdag ang -\frac{y}{3} sa 5y.

$$\frac{14}{3}y-\frac{1}{3}=9$$

Idagdag ang \frac{1}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{14}{3}y=\frac{28}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{14}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times 2.

$$x=\frac{-2-1}{3}$$

Idagdag ang -\frac{1}{3} sa -\frac{2}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-1}&-\frac{1}{3\times 5-1}\\-\frac{1}{3\times 5-1}&\frac{3}{3\times 5-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-1\right)-\frac{1}{14}\times 9\\-\frac{1}{14}\left(-1\right)+\frac{3}{14}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-1,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$3x+y=-1,3x+3\times 5y=3\times 9$$

Pasimplehin.

$$3x+y=-1,3x+15y=27$$

I-subtract ang 3x+15y=27 mula sa 3x+y=-1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-3x+y-15y=-1-27$$

Idagdag ang 3x sa -3x. Naka-cancel out ang term na 3x at -3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$y-15y=-1-27$$

Idagdag ang y sa -15y.

$$-14y=-1-27$$

Idagdag ang -1 sa -27.

$$-14y=-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -14.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x+5y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+5\times 2=9$$

I-multiply ang 5 times 2.

$$x+10=9$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=2$$