Lutasin ang {l}{3x+4y=-3}{4x+6y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 3 } \\ { 4 x + 6 y = - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+4y=-3,4x+6y=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+4y=-3$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-4y-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -4y-3.

$$x=-\frac{4}{3}y-1$$

I-substitute ang -\frac{4y}{3}-1 para sa x sa kabilang equation na 4x+6y=-2.

$$4\left(-\frac{4}{3}y-1\right)+6y=-2$$

I-multiply ang 4 times -\frac{4y}{3}-1.

$$-\frac{16}{3}y-4+6y=-2$$

Idagdag ang -\frac{16y}{3} sa 6y.

$$\frac{2}{3}y-4=-2$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{2}{3}y=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-\frac{4}{3}y-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{3}\times 3-1$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times 3.

$$x=-4-1$$

Idagdag ang -1 sa -4.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+4y=-3,4x+6y=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 6-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-4\times 4}&\frac{3}{3\times 6-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-3\right)-2\left(-2\right)\\-2\left(-3\right)+\frac{3}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-5,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+4y=-3,4x+6y=-2$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\left(-3\right),3\times 4x+3\times 6y=3\left(-2\right)$$

Pasimplehin.

$$12x+16y=-12,12x+18y=-6$$

I-subtract ang 12x+18y=-6 mula sa 12x+16y=-12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+16y-18y=-12+6$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$16y-18y=-12+6$$

Idagdag ang 16y sa -18y.

$$-2y=-12+6$$

Idagdag ang -12 sa 6.

$$-2y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa 4x+6y=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+6\times 3=-2$$

I-multiply ang 6 times 3.

$$4x+18=-2$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=3$$