Lutasin ang {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -4 gamit ang x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Pagsamahin ang 3x at -4x para makuha ang -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Pagsamahin ang 3y at 4y para makuha ang 7y.

$$-x+7y=-18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang \frac{1}{2} gamit ang x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang \frac{1}{6} gamit ang x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Pagsamahin ang \frac{1}{2}x at \frac{1}{6}x para makuha ang \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Pagsamahin ang \frac{1}{2}y at -\frac{1}{6}y para makuha ang \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x+7y=-18$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-7y-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

I-multiply ang -1 times -7y-18.

$$x=7y+18$$

I-substitute ang 7y+18 para sa x sa kabilang equation na \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times 7y+18.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

Idagdag ang \frac{14y}{3} sa \frac{y}{3}.

$$5y+12=2$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=7y+18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

I-multiply ang 7 times -2.

$$x=-14+18$$

Idagdag ang 18 sa -14.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -4 gamit ang x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Pagsamahin ang 3x at -4x para makuha ang -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Pagsamahin ang 3y at 4y para makuha ang 7y.

$$-x+7y=-18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang \frac{1}{2} gamit ang x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang \frac{1}{6} gamit ang x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Pagsamahin ang \frac{1}{2}x at \frac{1}{6}x para makuha ang \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Pagsamahin ang \frac{1}{2}y at -\frac{1}{6}y para makuha ang \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -4 gamit ang x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Pagsamahin ang 3x at -4x para makuha ang -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Pagsamahin ang 3y at 4y para makuha ang 7y.

$$-x+7y=-18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang \frac{1}{2} gamit ang x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang \frac{1}{6} gamit ang x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Pagsamahin ang \frac{1}{2}x at \frac{1}{6}x para makuha ang \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Pagsamahin ang \frac{1}{2}y at -\frac{1}{6}y para makuha ang \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Para gawing magkatumbas ang -x at \frac{2x}{3}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{2}{3} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Pasimplehin.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

I-subtract ang -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 mula sa -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Idagdag ang -\frac{2x}{3} sa \frac{2x}{3}. Naka-cancel out ang term na -\frac{2x}{3} at \frac{2x}{3} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Idagdag ang \frac{14y}{3} sa \frac{y}{3}.

$$5y=-12+2$$

Idagdag ang -12 sa 2.

$$5y=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -2.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=-2$$