Lutasin ang {l}{2x-3y=18}{3x+4y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 18 } \\ { 3 x + 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=18$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y+18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+18\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 18+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+9$$

I-substitute ang 9+\frac{3y}{2} para sa x sa kabilang equation na 3x+4y=-7.

$$3\left(\frac{3}{2}y+9\right)+4y=-7$$

I-multiply ang 3 times 9+\frac{3y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+27+4y=-7$$

Idagdag ang \frac{9y}{2} sa 4y.

$$\frac{17}{2}y+27=-7$$

I-subtract ang 27 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{17}{2}y=-34$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{17}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa x=\frac{3}{2}y+9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+9$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times -4.

$$x=-6+9$$

Idagdag ang 9 sa -6.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 18+\frac{3}{17}\left(-7\right)\\-\frac{3}{17}\times 18+\frac{2}{17}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 18,2\times 3x+2\times 4y=2\left(-7\right)$$

Pasimplehin.

$$6x-9y=54,6x+8y=-14$$

I-subtract ang 6x+8y=-14 mula sa 6x-9y=54 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-9y-8y=54+14$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9y-8y=54+14$$

Idagdag ang -9y sa -8y.

$$-17y=54+14$$

Idagdag ang 54 sa 14.

$$-17y=68$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -17.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa 3x+4y=-7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+4\left(-4\right)=-7$$

I-multiply ang 4 times -4.

$$3x-16=-7$$

Idagdag ang 16 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-4$$