Lutasin ang {l}{2x+5y=1}{4x-3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 1 } \\ { 4 x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{33}{26} = 1\frac{7}{26} \approx 1.269230769$$

$$y=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+5y=1,4x-3y=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+5y=1$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-5y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -5y+1.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{-5y+1}{2} para sa x sa kabilang equation na 4x-3y=6.

$$4\left(-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)-3y=6$$

I-multiply ang 4 times \frac{-5y+1}{2}.

$$-10y+2-3y=6$$

Idagdag ang -10y sa -3y.

$$-13y+2=6$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-13y=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$y=-\frac{4}{13}$$

I-substitute ang -\frac{4}{13} para sa y sa x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{4}{13}\right)+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang -\frac{5}{2} times -\frac{4}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{10}{13}+\frac{1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{10}{13} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{33}{26}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{33}{26},y=-\frac{4}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+5y=1,4x-3y=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-5\times 4}&-\frac{5}{2\left(-3\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-5\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{26}&\frac{5}{26}\\\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{26}+\frac{5}{26}\times 6\\\frac{2}{13}-\frac{1}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{26}\\-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{33}{26},y=-\frac{4}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+5y=1,4x-3y=6$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$4\times 2x+4\times 5y=4,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 6$$

Pasimplehin.

$$8x+20y=4,8x-6y=12$$

I-subtract ang 8x-6y=12 mula sa 8x+20y=4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x+20y+6y=4-12$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$20y+6y=4-12$$

Idagdag ang 20y sa 6y.

$$26y=4-12$$

Idagdag ang 4 sa -12.

$$26y=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 26.

$$y=-\frac{4}{13}$$

I-substitute ang -\frac{4}{13} para sa y sa 4x-3y=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x-3\left(-\frac{4}{13}\right)=6$$

I-multiply ang -3 times -\frac{4}{13}.

$$4x+\frac{12}{13}=6$$

I-subtract ang \frac{12}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=\frac{66}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{33}{26}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{33}{26},y=-\frac{4}{13}$$