Lutasin ang {l}{2a+3b=4}{3a-8b=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { 3 a - 8 b = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a = \frac{47}{25} = 1\frac{22}{25} = 1.88$$

$$b=\frac{2}{25}=0.08$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2a+3b=4$$

I-subtract ang 3b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2a=-3b+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

I-substitute ang -\frac{3b}{2}+2 para sa a sa kabilang equation na 3a-8b=5.

$$3\left(-\frac{3}{2}b+2\right)-8b=5$$

I-multiply ang 3 times -\frac{3b}{2}+2.

$$-\frac{9}{2}b+6-8b=5$$

Idagdag ang -\frac{9b}{2} sa -8b.

$$-\frac{25}{2}b+6=5$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{25}{2}b=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{25}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=\frac{2}{25}$$

I-substitute ang \frac{2}{25} para sa b sa a=-\frac{3}{2}b+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{3}{2}\times \frac{2}{25}+2$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times \frac{2}{25} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=-\frac{3}{25}+2$$

Idagdag ang 2 sa -\frac{3}{25}.

$$a=\frac{47}{25}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-8\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 4-\frac{2}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{25}\\\frac{2}{25}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Para gawing magkatumbas ang 2a at 3a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2a+3\times 3b=3\times 4,2\times 3a+2\left(-8\right)b=2\times 5$$

Pasimplehin.

$$6a+9b=12,6a-16b=10$$

I-subtract ang 6a-16b=10 mula sa 6a+9b=12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6a-6a+9b+16b=12-10$$

Idagdag ang 6a sa -6a. Naka-cancel out ang term na 6a at -6a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9b+16b=12-10$$

Idagdag ang 9b sa 16b.

$$25b=12-10$$

Idagdag ang 12 sa -10.

$$25b=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 25.

$$b=\frac{2}{25}$$

I-substitute ang \frac{2}{25} para sa b sa 3a-8b=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$3a-8\times \frac{2}{25}=5$$

I-multiply ang -8 times \frac{2}{25}.

$$3a-\frac{16}{25}=5$$

Idagdag ang \frac{16}{25} sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a=\frac{141}{25}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a=\frac{47}{25}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$