Lutasin ang {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-19$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Pagsamahin ang 2x at -3x para makuha ang -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Pagsamahin ang 2y at 3y para makuha ang 5y.

$$-x+5y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -7 gamit ang x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Pagsamahin ang 5x at -7x para makuha ang -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Pagsamahin ang 5y at 7y para makuha ang 12y.

$$-2x+12y=2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x+5y=4$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-5y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

I-multiply ang -1 times -5y+4.

$$x=5y-4$$

I-substitute ang 5y-4 para sa x sa kabilang equation na -2x+12y=2.

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

I-multiply ang -2 times 5y-4.

$$-10y+8+12y=2$$

Idagdag ang -10y sa 12y.

$$2y+8=2$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=5y-4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=5\left(-3\right)-4$$

I-multiply ang 5 times -3.

$$x=-15-4$$

Idagdag ang -4 sa -15.

$$x=-19$$

Nalutas na ang system.

$$x=-19,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Pagsamahin ang 2x at -3x para makuha ang -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Pagsamahin ang 2y at 3y para makuha ang 5y.

$$-x+5y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -7 gamit ang x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Pagsamahin ang 5x at -7x para makuha ang -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Pagsamahin ang 5y at 7y para makuha ang 12y.

$$-2x+12y=2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-19,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Pagsamahin ang 2x at -3x para makuha ang -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Pagsamahin ang 2y at 3y para makuha ang 5y.

$$-x+5y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -7 gamit ang x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Pagsamahin ang 5x at -7x para makuha ang -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Pagsamahin ang 5y at 7y para makuha ang 12y.

$$-2x+12y=2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Para gawing magkatumbas ang -x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

Pasimplehin.

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

I-subtract ang 2x-12y=-2 mula sa 2x-10y=-8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-10y+12y=-8+2$$

Idagdag ang -10y sa 12y.

$$2y=-8+2$$

Idagdag ang -8 sa 2.

$$2y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa -2x+12y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

I-multiply ang 12 times -3.

$$-2x-36=2$$

Idagdag ang 36 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=38$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-19$$

Nalutas na ang system.

$$x=-19,y=-3$$