Lutasin ang {l}{150x+y=35}{200x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 x + y = 35 } \\ { 200 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=110$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$150x+y=35,200x+y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$150x+y=35$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$150x=-y+35$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 150.

$$x=\frac{1}{150}\left(-y+35\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{150} times -y+35.

$$x=-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30}$$

I-substitute ang -\frac{y}{150}+\frac{7}{30} para sa x sa kabilang equation na 200x+y=10.

$$200\left(-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30}\right)+y=10$$

I-multiply ang 200 times -\frac{y}{150}+\frac{7}{30}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{140}{3}+y=10$$

Idagdag ang -\frac{4y}{3} sa y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{140}{3}=10$$

I-subtract ang \frac{140}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{110}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=110$$

I-substitute ang 110 para sa y sa x=-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{150}\times 110+\frac{7}{30}$$

I-multiply ang -\frac{1}{150} times 110.

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{30}$$

Idagdag ang \frac{7}{30} sa -\frac{11}{15} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$150x+y=35,200x+y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{150-200}&-\frac{1}{150-200}\\-\frac{200}{150-200}&\frac{150}{150-200}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{50}&\frac{1}{50}\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{50}\times 35+\frac{1}{50}\times 10\\4\times 35-3\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\110\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$150x+y=35,200x+y=10$$

I-subtract ang 200x+y=10 mula sa 150x+y=35 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$150x-200x+y-y=35-10$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$150x-200x=35-10$$

Idagdag ang 150x sa -200x.

$$-50x=35-10$$

Idagdag ang 35 sa -10.

$$-50x=25$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -50.

$$x=-\frac{1}{2}$$

I-substitute ang -\frac{1}{2} para sa x sa 200x+y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$200\left(-\frac{1}{2}\right)+y=10$$

I-multiply ang 200 times -\frac{1}{2}.

$$-100+y=10$$

Idagdag ang 100 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=110$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$