Lutasin ang {l}{15x+12y=1950}{7x+16y=1950}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 15 x + 12 y = 1950 } \\ { 7 x + 16 y = 1950 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=50$$

$$y=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$15x+12y=1950$$

I-subtract ang 12y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$15x=-12y+1950$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-12y+1950\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{15} times -12y+1950.

$$x=-\frac{4}{5}y+130$$

I-substitute ang -\frac{4y}{5}+130 para sa x sa kabilang equation na 7x+16y=1950.

$$7\left(-\frac{4}{5}y+130\right)+16y=1950$$

I-multiply ang 7 times -\frac{4y}{5}+130.

$$-\frac{28}{5}y+910+16y=1950$$

Idagdag ang -\frac{28y}{5} sa 16y.

$$\frac{52}{5}y+910=1950$$

I-subtract ang 910 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{52}{5}y=1040$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{52}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=100$$

I-substitute ang 100 para sa y sa x=-\frac{4}{5}y+130. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{5}\times 100+130$$

I-multiply ang -\frac{4}{5} times 100.

$$x=-80+130$$

Idagdag ang 130 sa -80.

$$x=50$$

Nalutas na ang system.

$$x=50,y=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{15\times 16-12\times 7}&-\frac{12}{15\times 16-12\times 7}\\-\frac{7}{15\times 16-12\times 7}&\frac{15}{15\times 16-12\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{13}\\-\frac{7}{156}&\frac{5}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 1950-\frac{1}{13}\times 1950\\-\frac{7}{156}\times 1950+\frac{5}{52}\times 1950\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\100\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=50,y=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Para gawing magkatumbas ang 15x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 15.

$$7\times 15x+7\times 12y=7\times 1950,15\times 7x+15\times 16y=15\times 1950$$

Pasimplehin.

$$105x+84y=13650,105x+240y=29250$$

I-subtract ang 105x+240y=29250 mula sa 105x+84y=13650 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$105x-105x+84y-240y=13650-29250$$

Idagdag ang 105x sa -105x. Naka-cancel out ang term na 105x at -105x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$84y-240y=13650-29250$$

Idagdag ang 84y sa -240y.

$$-156y=13650-29250$$

Idagdag ang 13650 sa -29250.

$$-156y=-15600$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -156.

$$y=100$$

I-substitute ang 100 para sa y sa 7x+16y=1950. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x+16\times 100=1950$$

I-multiply ang 16 times 100.

$$7x+1600=1950$$

I-subtract ang 1600 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=350$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=50$$

Nalutas na ang system.

$$x=50,y=100$$