Lutasin ang {l}{125x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$125x+110y=6100$$

I-subtract ang 110y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$125x=-110y+6100$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 125.

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{125} times -110y+6100.

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

I-substitute ang -\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} para sa x sa kabilang equation na x+y=50.

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

Idagdag ang -\frac{22y}{25} sa y.

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

I-subtract ang \frac{244}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{25}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

I-multiply ang -\frac{22}{25} times 10.

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

Idagdag ang \frac{244}{5} sa -\frac{44}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=40$$

Nalutas na ang system.

$$x=40,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=40,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Para gawing magkatumbas ang 125x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 125.

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

Pasimplehin.

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

I-subtract ang 125x+125y=6250 mula sa 125x+110y=6100 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

Idagdag ang 125x sa -125x. Naka-cancel out ang term na 125x at -125x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$110y-125y=6100-6250$$

Idagdag ang 110y sa -125y.

$$-15y=6100-6250$$

Idagdag ang 6100 sa -6250.

$$-15y=-150$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa x+y=50. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+10=50$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=40$$

Nalutas na ang system.

$$x=40,y=10$$