Lutasin ang {l}{-x+3y=5}{x+2y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 5 } \\ { x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x+3y=5,x+2y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x+3y=5$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-3y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(-3y+5\right)$$

I-multiply ang -1 times -3y+5.

$$x=3y-5$$

I-substitute ang 3y-5 para sa x sa kabilang equation na x+2y=10.

$$3y-5+2y=10$$

Idagdag ang 3y sa 2y.

$$5y-5=10$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=3y-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=3\times 3-5$$

I-multiply ang 3 times 3.

$$x=9-5$$

Idagdag ang -5 sa 9.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x+3y=5,x+2y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-3}&-\frac{3}{-2-3}\\-\frac{1}{-2-3}&-\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 10\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x+3y=5,x+2y=10$$

Para gawing magkatumbas ang -x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$-x+3y=5,-x-2y=-10$$

I-subtract ang -x-2y=-10 mula sa -x+3y=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-x+x+3y+2y=5+10$$

Idagdag ang -x sa x. Naka-cancel out ang term na -x at x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y+2y=5+10$$

Idagdag ang 3y sa 2y.

$$5y=5+10$$

Idagdag ang 5 sa 10.

$$5y=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x+2y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+2\times 3=10$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x+6=10$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=3$$