Lutasin ang {l}{-4x+y=-15}{2x-3y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + y = - 15 } \\ { 2 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-4x+y=-15$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-y-15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y-15\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times -y-15.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

I-substitute ang \frac{15+y}{4} para sa x sa kabilang equation na 2x-3y=5.

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)-3y=5$$

I-multiply ang 2 times \frac{15+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}-3y=5$$

Idagdag ang \frac{y}{2} sa -3y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

I-subtract ang \frac{15}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1+15}{4}$$

Idagdag ang \frac{15}{4} sa \frac{1}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{-4\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{-4\left(-3\right)-2}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-15\right)-\frac{1}{10}\times 5\\-\frac{1}{5}\left(-15\right)-\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

Para gawing magkatumbas ang -4x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -4.

$$2\left(-4\right)x+2y=2\left(-15\right),-4\times 2x-4\left(-3\right)y=-4\times 5$$

Pasimplehin.

$$-8x+2y=-30,-8x+12y=-20$$

I-subtract ang -8x+12y=-20 mula sa -8x+2y=-30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-8x+8x+2y-12y=-30+20$$

Idagdag ang -8x sa 8x. Naka-cancel out ang term na -8x at 8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-12y=-30+20$$

Idagdag ang 2y sa -12y.

$$-10y=-30+20$$

Idagdag ang -30 sa 20.

$$-10y=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 2x-3y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-3=5$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=1$$