Lutasin ang {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Pagsamahin ang -2y at -5y para makuha ang -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

I-subtract ang 10x mula sa magkabilang dulo.

$$2x-7y-10x=-10$$

Pagsamahin ang 2x at -10x para makuha ang -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+2.

$$2x+3y+6=6$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo.

$$2x+3y=6-6$$

I-subtract ang 6 mula sa 6 para makuha ang 0.

$$2x+3y=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-8x-7y=-10$$

Idagdag ang 7y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8x=7y-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{8} times 7y-10.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

I-substitute ang -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=0.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

I-multiply ang 2 times -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

Idagdag ang -\frac{7y}{4} sa 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

I-subtract ang \frac{5}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

I-multiply ang -\frac{7}{8} times -2.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

Idagdag ang \frac{5}{4} sa \frac{7}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Pagsamahin ang -2y at -5y para makuha ang -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

I-subtract ang 10x mula sa magkabilang dulo.

$$2x-7y-10x=-10$$

Pagsamahin ang 2x at -10x para makuha ang -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+2.

$$2x+3y+6=6$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo.

$$2x+3y=6-6$$

I-subtract ang 6 mula sa 6 para makuha ang 0.

$$2x+3y=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Pagsamahin ang -2y at -5y para makuha ang -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

I-subtract ang 10x mula sa magkabilang dulo.

$$2x-7y-10x=-10$$

Pagsamahin ang 2x at -10x para makuha ang -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+2.

$$2x+3y+6=6$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo.

$$2x+3y=6-6$$

I-subtract ang 6 mula sa 6 para makuha ang 0.

$$2x+3y=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Para gawing magkatumbas ang -8x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -8.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

Pasimplehin.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

I-subtract ang -16x-24y=0 mula sa -16x-14y=-20 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

Idagdag ang -16x sa 16x. Naka-cancel out ang term na -16x at 16x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-14y+24y=-20$$

Idagdag ang -14y sa 24y.

$$10y=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 2x+3y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

I-multiply ang 3 times -2.

$$2x-6=0$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-2$$