Lutasin ang {l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution at Quadratic Formula

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 4,3.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang k gamit ang x+1.

$$y=kx+k$$

I-substitute ang kx+k para sa y sa kabilang equation na 3x^{2}+4y^{2}=12.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

I-square ang kx+k.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

I-multiply ang 4 times k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

Idagdag ang 3x^{2} sa 4k^{2}x^{2}.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3+4k^{2} para sa a, 4\times 2kk para sa b, at 4k^{2}-12 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

I-square ang 4\times 2kk.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

I-multiply ang -4 times 3+4k^{2}.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

I-multiply ang -12-16k^{2} times 4k^{2}-12.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Idagdag ang 64k^{4} sa 144+144k^{2}-64k^{4}.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Kunin ang square root ng 144k^{2}+144.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

I-multiply ang 2 times 3+4k^{2}.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -8k^{2} sa 12\sqrt{k^{2}+1}.

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

I-divide ang -8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} gamit ang 6+8k^{2}.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 12\sqrt{k^{2}+1} mula sa -8k^{2}.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

I-divide ang -8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} gamit ang 6+8k^{2}.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

May dalawang solution para sa x: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} at -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}. I-substitute ang \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} para sa x sa equation na y=kx+k para hanapin ang nauugnay na solution para sa y na umaakma sa dalawang equation.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

I-multiply ang k times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}}.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

Ngayon, i-substitute ang -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} para sa x sa equation na y=kx+k at i-solve para hanapin ang nauugnay na solution para sa y na umaakma sa dalawang equation.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

I-multiply ang k times -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$