Lutasin ang {l}{5/4x+7/5y=63}{3/4x=3/3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 } { 4 } x + \frac { 7 } { 5 } y = 63 } \\ { \frac { 3 } { 4 } x = \frac { 3 } { 3 } y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{630}{23} = 27\frac{9}{23} \approx 27.391304348$$

$$y = \frac{945}{46} = 20\frac{25}{46} \approx 20.543478261$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang 3 gamit ang 3 para makuha ang 1.

$$\frac{3}{4}x=1y$$

I-subtract ang 1y mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{3}{4}x-y=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63,\frac{3}{4}x-y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63$$

I-subtract ang \frac{7y}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{4}x=-\frac{7}{5}y+63$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{7}{5}y+63\right)$$

I-multiply ang \frac{4}{5} times -\frac{7y}{5}+63.

$$x=-\frac{28}{25}y+\frac{252}{5}$$

I-substitute ang -\frac{28y}{25}+\frac{252}{5} para sa x sa kabilang equation na \frac{3}{4}x-y=0.

$$\frac{3}{4}\left(-\frac{28}{25}y+\frac{252}{5}\right)-y=0$$

I-multiply ang \frac{3}{4} times -\frac{28y}{25}+\frac{252}{5}.

$$-\frac{21}{25}y+\frac{189}{5}-y=0$$

Idagdag ang -\frac{21y}{25} sa -y.

$$-\frac{46}{25}y+\frac{189}{5}=0$$

I-subtract ang \frac{189}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{46}{25}y=-\frac{189}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{46}{25}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{945}{46}$$

I-substitute ang \frac{945}{46} para sa y sa x=-\frac{28}{25}y+\frac{252}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{28}{25}\times \frac{945}{46}+\frac{252}{5}$$

I-multiply ang -\frac{28}{25} times \frac{945}{46} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{2646}{115}+\frac{252}{5}$$

Idagdag ang \frac{252}{5} sa -\frac{2646}{115} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{630}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{630}{23},y=\frac{945}{46}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang 3 gamit ang 3 para makuha ang 1.

$$\frac{3}{4}x=1y$$

I-subtract ang 1y mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{3}{4}x-y=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63,\frac{3}{4}x-y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}&-\frac{\frac{7}{5}}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}\\-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}&\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{23}&\frac{14}{23}\\\frac{15}{46}&-\frac{25}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{23}\times 63\\\frac{15}{46}\times 63\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{630}{23}\\\frac{945}{46}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{630}{23},y=\frac{945}{46}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang 3 gamit ang 3 para makuha ang 1.

$$\frac{3}{4}x=1y$$

I-subtract ang 1y mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{3}{4}x-y=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63,\frac{3}{4}x-y=0$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{5x}{4} at \frac{3x}{4}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{3}{4} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{5}{4}.

$$\frac{3}{4}\times \frac{5}{4}x+\frac{3}{4}\times \frac{7}{5}y=\frac{3}{4}\times 63,\frac{5}{4}\times \frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\left(-1\right)y=0$$

Pasimplehin.

$$\frac{15}{16}x+\frac{21}{20}y=\frac{189}{4},\frac{15}{16}x-\frac{5}{4}y=0$$

I-subtract ang \frac{15}{16}x-\frac{5}{4}y=0 mula sa \frac{15}{16}x+\frac{21}{20}y=\frac{189}{4} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{15}{16}x-\frac{15}{16}x+\frac{21}{20}y+\frac{5}{4}y=\frac{189}{4}$$

Idagdag ang \frac{15x}{16} sa -\frac{15x}{16}. Naka-cancel out ang term na \frac{15x}{16} at -\frac{15x}{16} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{21}{20}y+\frac{5}{4}y=\frac{189}{4}$$

Idagdag ang \frac{21y}{20} sa \frac{5y}{4}.

$$\frac{23}{10}y=\frac{189}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{23}{10}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{945}{46}$$

I-substitute ang \frac{945}{46} para sa y sa \frac{3}{4}x-y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{3}{4}x-\frac{945}{46}=0$$

Idagdag ang \frac{945}{46} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{4}x=\frac{945}{46}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{630}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{630}{23},y=\frac{945}{46}$$