Lutasin ang {c}{2x+3y=1}{-x+4y=-28}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 1 } \\ { - x + 4 y = - 28 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=8$$

$$y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=1,-x+4y=-28$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=1$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y+1.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{-3y+1}{2} para sa x sa kabilang equation na -x+4y=-28.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y=-28$$

I-multiply ang -1 times \frac{-3y+1}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}+4y=-28$$

Idagdag ang \frac{3y}{2} sa 4y.

$$\frac{11}{2}y-\frac{1}{2}=-28$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{55}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-5$$

I-substitute ang -5 para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times -5.

$$x=\frac{15+1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{15}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=1,-x+4y=-28$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2\times 4-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 4-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 4-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}-\frac{3}{11}\left(-28\right)\\\frac{1}{11}+\frac{2}{11}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=8,y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=1,-x+4y=-28$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$-2x-3y=-1,2\left(-1\right)x+2\times 4y=2\left(-28\right)$$

Pasimplehin.

$$-2x-3y=-1,-2x+8y=-56$$

I-subtract ang -2x+8y=-56 mula sa -2x-3y=-1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2x+2x-3y-8y=-1+56$$

Idagdag ang -2x sa 2x. Naka-cancel out ang term na -2x at 2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y-8y=-1+56$$

Idagdag ang -3y sa -8y.

$$-11y=-1+56$$

Idagdag ang -1 sa 56.

$$-11y=55$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$y=-5$$

I-substitute ang -5 para sa y sa -x+4y=-28. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x+4\left(-5\right)=-28$$

I-multiply ang 4 times -5.

$$-x-20=-28$$

Idagdag ang 20 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=-5$$