Lutasin ang frac{7+3sqrt{5}}{3+sqrt{5}}-frac{7-3sqrt{5}}{3-sqrt{5}}

$$\frac { 7 + 3 \sqrt { 5 } } { 3 + \sqrt { 5 } } - \frac { 7 - 3 \sqrt { 5 } } { 3 - \sqrt { 5 } }$$

I-evaluate

$$\sqrt{5}\approx 2.236067977$$

Maiikling Hakbang sa Solution

I-rationalize ang denominator ng \frac{7+3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} sa pamamagitan ng pag-multiply ng numerator at denominator sa 3-\sqrt{5}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

Isaalang-alang ang \left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

I-square ang 3. I-square ang \sqrt{5}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{9-5}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

I-subtract ang 5 mula sa 9 para makuha ang 4.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

I-rationalize ang denominator ng \frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} sa pamamagitan ng pag-multiply ng numerator at denominator sa 3+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}$$

Isaalang-alang ang \left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

I-square ang 3. I-square ang \sqrt{5}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{9-5}$$

I-subtract ang 5 mula sa 9 para makuha ang 4.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{4}$$

Dahil may parehong denominator ang \frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4} at \frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{4}, ibawas ang mga ito sa pamamagitan ng pagbawas sa mga numerator ng mga ito.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)-\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{4}$$

Gawin ang mga pag-multiply sa \left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)-\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right).

$$\frac{21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}-15-21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}+15}{4}$$

Kalkulahin ang 21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}-15-21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}+15.

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

I-cancel out ang 4 at 4.

$$\sqrt{5}$$