Ratkaise x-x^2=3

$$x- { x }^{ 2 } =3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}\approx 0,5-1,658312395i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2}\approx 0,5+1,658312395i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+x=3$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+x-3=3-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 1 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-3\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-3\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-3\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 1 lukuun -12.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-11}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -11 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{-2}$$

Jaa -1+i\sqrt{11} luvulla -2.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{11} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{-2}$$

Jaa -1-i\sqrt{11} luvulla -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=\frac{3}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=\frac{3}{-1}$$

Jaa 1 luvulla -1.

$$x^{2}-x=\frac{3}{-1}$$

Jaa 3 luvulla -1.

$$x^{2}-x=-3$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

Lisää -3 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}$$