Ratkaise x^2-8x+9=0

$$x ^ { 2 } - 8 x + 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{7}+4\approx 6,645751311$$

$$x=4-\sqrt{7}\approx 1,354248689$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-8x+9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -8 ja c luvulla 9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 9}}{2}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 9}}{2}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-36}}{2}$$

Lisää 64 lukuun -36.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{28}}{2}$$

Ota luvun 28 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{7}}{2}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{7}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{7}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+8}{2}$$

Jaa 8+2\sqrt{7} luvulla 2.

$$x=\sqrt{7}+4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{7}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{7} luvusta 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{7}}{2}$$

Jaa 8-2\sqrt{7} luvulla 2.

$$x=4-\sqrt{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{7}+4 x=4-\sqrt{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-8x+9=0$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-8x+9-9=-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-8x=-9$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-9+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x^{2}-8x+16=-9+16$$

Lisää -9 lukuun 16.

$$x^{2}-8x+16=7$$

Jaa x^{2}-8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=7$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Sievennä.

$$x-4=\sqrt{7} x-4=-\sqrt{7}$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{7}+4 x=4-\sqrt{7}$$