Ratkaise x^2-4x-14=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 14 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=3\sqrt{2}+2\approx 6,242640687$$

$$x=2-3\sqrt{2}\approx -2,242640687$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-4x-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -4 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-14\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -14.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+56}}{2}$$

Lisää 16 lukuun 56.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{72}}{2}$$

Ota luvun 72 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6\sqrt{2}}{2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±6\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±6\sqrt{2}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 6\sqrt{2}.

$$x=\frac{6\sqrt{2}+4}{2}$$

Jaa 4+6\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=3\sqrt{2}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±6\sqrt{2}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{2} luvusta 4.

$$x=\frac{4-6\sqrt{2}}{2}$$

Jaa 4-6\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=2-3\sqrt{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3\sqrt{2}+2 x=2-3\sqrt{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-14=0$$

Lisää 14 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-4x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Kun luku -14 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-14\right)$$

Vähennä -14 luvusta 0.

$$x^{2}-4x=14$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=14+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=14+4$$

Lisää 14 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=18$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=18$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Sievennä.

$$x-2=3\sqrt{2} x-2=-3\sqrt{2}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3\sqrt{2}+2 x=2-3\sqrt{2}$$