Ratkaise x^2-3x+8=1

$$x ^ { 2 } - 3 x + 8 = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1,5+2,179449472i$$

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1,5-2,179449472i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-3x+8=1$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-3x+8-1=1-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-3x+8-1=0$$

Vähennä 1 luvusta 8.

$$x^{2}-3x+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -3 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7}}{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7}}{2}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28}}{2}$$

Lisää 9 lukuun -28.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-19}}{2}$$

Ota luvun -19 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{19}i}{2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{19}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{19}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun i\sqrt{19}.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{19}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{19} luvusta 3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x+8=1$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-3x+8-8=1-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-3x=1-8$$

Vähennä 8 luvusta 1.

$$x^{2}-3x=-7$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Lisää -7 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$