Ratkaise x^2-15x-9=0

$$x ^ { 2 } - 15 x - 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{29} + 15}{2} \approx 15,577747211$$

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}\approx -0,577747211$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -15 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+36}}{2}$$

Lisää 225 lukuun 36.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{261}}{2}$$

Ota luvun 261 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{29}}{2}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun 3\sqrt{29}.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{29} luvusta 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-15x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kun luku -9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-15x=-\left(-9\right)$$

Vähennä -9 luvusta 0.

$$x^{2}-15x=9$$

Jaa -15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{2}. Lisää sitten -\frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=9+\frac{225}{4}$$

Lisää 9 lukuun \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{261}{4}$$

Jaa x^{2}-15x+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{261}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{261}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{3\sqrt{29}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{3\sqrt{29}}{2}$$

Lisää \frac{15}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$