Ratkaise x^2-14x=-47

$$x ^ { 2 } - 14 x = - 47$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{2}+7\approx 8,414213562$$

$$x=7-\sqrt{2}\approx 5,585786438$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-14x=-47$$

Lisää 47 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-14x-\left(-47\right)=-47-\left(-47\right)$$

Kun luku -47 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-14x-\left(-47\right)=0$$

Vähennä -47 luvusta 0.

$$x^{2}-14x+47=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -14 ja c luvulla 47 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 47}}{2}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 47}}{2}$$

Kerro -4 ja 47.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-188}}{2}$$

Lisää 196 lukuun -188.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{8}}{2}$$

Ota luvun 8 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{2}}{2}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{2}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+14}{2}$$

Jaa 14+2\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=\sqrt{2}+7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{2}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{2} luvusta 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{2}}{2}$$

Jaa 14-2\sqrt{2} luvulla 2.

$$x=7-\sqrt{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{2}+7 x=7-\sqrt{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x=-47$$

Jaa -14 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -7. Lisää sitten -7:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-47+\left(-7\right)^{2}$$

Korota -7 neliöön.

$$x^{2}-14x+49=-47+49$$

Lisää -47 lukuun 49.

$$x^{2}-14x+49=2$$

Jaa x^{2}-14x+49 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Sievennä.

$$x-7=\sqrt{2} x-7=-\sqrt{2}$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{2}+7 x=7-\sqrt{2}$$