Ratkaise x^2-13x+4=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{17} + 13}{2} \approx 12,684658438$$

$$x=\frac{13-3\sqrt{17}}{2}\approx 0,315341562$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-13x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -13 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Korota -13 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 4}}{2}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-16}}{2}$$

Lisää 169 lukuun -16.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{153}}{2}$$

Ota luvun 153 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±3\sqrt{17}}{2}$$

Luvun -13 vastaluku on 13.

$$x=\frac{13±3\sqrt{17}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{13±3\sqrt{17}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 13 lukuun 3\sqrt{17}.

$$x=\frac{3\sqrt{17}+13}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{13±3\sqrt{17}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{17} luvusta 13.

$$x=\frac{13-3\sqrt{17}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{17}+13}{2} x=\frac{13-3\sqrt{17}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-13x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-13x=-4$$

Jaa -13 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{2}. Lisää sitten -\frac{13}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-4+\frac{169}{4}$$

Lisää -4 lukuun \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{153}{4}$$

Jaa x^{2}-13x+\frac{169}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{153}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{3\sqrt{17}}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{3\sqrt{17}}{2}$$

Lisää \frac{13}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{17}+13}{2} x=\frac{13-3\sqrt{17}}{2}$$