Ratkaise x^2+7x+47=0

$$x ^ { 2 } + 7 x + 47 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2}\approx -3,5+5,894913061i$$

$$x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}\approx -3,5-5,894913061i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+7x+47=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 7 ja c luvulla 47 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 47}}{2}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 47}}{2}$$

Kerro -4 ja 47.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-188}}{2}$$

Lisää 49 lukuun -188.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-139}}{2}$$

Ota luvun -139 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun i\sqrt{139}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{139} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2} x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+7x+47=0$$

Vähennä 47 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+7x+47-47=-47$$

Kun luku 47 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+7x=-47$$

Jaa 7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{2}. Lisää sitten \frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-47+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-47+\frac{49}{4}$$

Lisää -47 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-\frac{139}{4}$$

Jaa x^{2}+7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{139}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{139}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{139}i}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{139}i}{2}$$

Vähennä \frac{7}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2} x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$