Ratkaise x^2+4x-11<-36x-x^2

$$x ^ { 2 } + 4 x - 11 < - 36 x - x ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää 36x molemmille puolille.

$$x^{2}+4x-11+36x<-x^{2}$$

Selvitä 40x yhdistämällä 4x ja 36x.

$$x^{2}+40x-11<-x^{2}$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$x^{2}+40x-11+x^{2}<0$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{2}+40x-11<0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2x^{2}+40x-11=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan 40 tilalle b ja muuttujan -11 tilalle c.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-40±2\sqrt{422}}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-40±2\sqrt{422}}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{422}}{2}-10 x=-\frac{\sqrt{422}}{2}-10$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) ja x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) on positiivinen ja x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) on negatiivinen.

$$x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) on positiivinen ja x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) on negatiivinen.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$