Ratkaise x^2+4x+68=0

$$x ^ { 2 } + 4 x + 68 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-2+8i$$

$$x=-2-8i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+4x+68=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 4 ja c luvulla 68 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 68}}{2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 68}}{2}$$

Kerro -4 ja 68.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-272}}{2}$$

Lisää 16 lukuun -272.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-256}}{2}$$

Ota luvun -256 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±16i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±16i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 16i.

$$x=\frac{-4+16i}{2}$$

Jaa -4+16i luvulla 2.

$$x=-2+8i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±16i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16i luvusta -4.

$$x=\frac{-4-16i}{2}$$

Jaa -4-16i luvulla 2.

$$x=-2-8i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2+8i x=-2-8i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x+68=0$$

Vähennä 68 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+4x+68-68=-68$$

Kun luku 68 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+4x=-68$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-68+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=-68+4$$

Lisää -68 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=-64$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=-64$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-64}$$

Sievennä.

$$x+2=8i x+2=-8i$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-2+8i x=-2-8i$$