Ratkaise x^2+16x-5=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{69}-8\approx 0,306623863$$

$$x=-\left(\sqrt{69}+8\right)\approx -16,306623863$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+16x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 16 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Korota 16 neliöön.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -5.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+20}}{2}$$

Lisää 256 lukuun 20.

$$x=\frac{-16±\sqrt{276}}{2}$$

Ota luvun 276 neliöjuuri.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{69}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±2\sqrt{69}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -16 lukuun 2\sqrt{69}.

$$x=\frac{2\sqrt{69}-16}{2}$$

Jaa -16+2\sqrt{69} luvulla 2.

$$x=\sqrt{69}-8$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±2\sqrt{69}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{69} luvusta -16.

$$x=\frac{-2\sqrt{69}-16}{2}$$

Jaa -16-2\sqrt{69} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{69}-8$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{69}-8 x=-\sqrt{69}-8$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+16x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$x^{2}+16x=5$$

Jaa 16 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 8. Lisää sitten 8:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+16x+8^{2}=5+8^{2}$$

Korota 8 neliöön.

$$x^{2}+16x+64=5+64$$

Lisää 5 lukuun 64.

$$x^{2}+16x+64=69$$

Jaa x^{2}+16x+64 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=69$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{69}$$

Sievennä.

$$x+8=\sqrt{69} x+8=-\sqrt{69}$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{69}-8 x=-\sqrt{69}-8$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{69}-8\approx 0,306623863$$

$$x=-\sqrt{69}-8\approx -16,306623863$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+16x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 16 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Korota 16 neliöön.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -5.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+20}}{2}$$

Lisää 256 lukuun 20.

$$x=\frac{-16±\sqrt{276}}{2}$$

Ota luvun 276 neliöjuuri.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{69}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±2\sqrt{69}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -16 lukuun 2\sqrt{69}.

$$x=\frac{2\sqrt{69}-16}{2}$$

Jaa -16+2\sqrt{69} luvulla 2.

$$x=\sqrt{69}-8$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±2\sqrt{69}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{69} luvusta -16.

$$x=\frac{-2\sqrt{69}-16}{2}$$

Jaa -16-2\sqrt{69} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{69}-8$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{69}-8 x=-\sqrt{69}-8$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+16x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$x^{2}+16x=5$$

Jaa 16 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 8. Lisää sitten 8:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+16x+8^{2}=5+8^{2}$$

Korota 8 neliöön.

$$x^{2}+16x+64=5+64$$

Lisää 5 lukuun 64.

$$x^{2}+16x+64=69$$

Jaa x^{2}+16x+64 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=69$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{69}$$

Sievennä.

$$x+8=\sqrt{69} x+8=-\sqrt{69}$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{69}-8 x=-\sqrt{69}-8$$