Ratkaise x^2+16x+78=7

$$x ^ { 2 } + 16 x + 78 = 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-8+\sqrt{7}i\approx -8+2,645751311i$$

$$x=-\sqrt{7}i-8\approx -8-2,645751311i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+16x+78=7$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+16x+78-7=7-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+16x+78-7=0$$

Vähennä 7 luvusta 78.

$$x^{2}+16x+71=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 16 ja c luvulla 71 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 71}}{2}$$

Korota 16 neliöön.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 71}}{2}$$

Kerro -4 ja 71.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-284}}{2}$$

Lisää 256 lukuun -284.

$$x=\frac{-16±\sqrt{-28}}{2}$$

Ota luvun -28 neliöjuuri.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{7}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±2\sqrt{7}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -16 lukuun 2i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-16+2\sqrt{7}i}{2}$$

Jaa -16+2i\sqrt{7} luvulla 2.

$$x=-8+\sqrt{7}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±2\sqrt{7}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{7} luvusta -16.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i-16}{2}$$

Jaa -16-2i\sqrt{7} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{7}i-8$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-8+\sqrt{7}i x=-\sqrt{7}i-8$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x+78=7$$

Vähennä 78 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+16x+78-78=7-78$$

Kun luku 78 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+16x=7-78$$

Vähennä 78 luvusta 7.

$$x^{2}+16x=-71$$

Jaa 16 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 8. Lisää sitten 8:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+16x+8^{2}=-71+8^{2}$$

Korota 8 neliöön.

$$x^{2}+16x+64=-71+64$$

Lisää -71 lukuun 64.

$$x^{2}+16x+64=-7$$

Jaa x^{2}+16x+64 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=-7$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{-7}$$

Sievennä.

$$x+8=\sqrt{7}i x+8=-\sqrt{7}i$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-8+\sqrt{7}i x=-\sqrt{7}i-8$$