Ratkaise t^2-7/2t+12=0

$$t ^ { 2 } - \frac { 7 } { 2 } t + 12 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{7+\sqrt{143}i}{4}\approx 1,75+2,989565186i$$

$$t=\frac{-\sqrt{143}i+7}{4}\approx 1,75-2,989565186i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -\frac{7}{2} ja c luvulla 12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{7}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Korota -\frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t=\frac{-\left(-\frac{7}{2}\right)±\sqrt{\frac{49}{4}-4\times 12}}{2}$$

Kerro -4 ja 12.

$$t=\frac{-\left(-\frac{7}{2}\right)±\sqrt{\frac{49}{4}-48}}{2}$$

Lisää \frac{49}{4} lukuun -48.

$$t=\frac{-\left(-\frac{7}{2}\right)±\sqrt{-\frac{143}{4}}}{2}$$

Ota luvun -\frac{143}{4} neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-\frac{7}{2}\right)±\frac{\sqrt{143}i}{2}}{2}$$

Luvun -\frac{7}{2} vastaluku on \frac{7}{2}.

$$t=\frac{\frac{7}{2}±\frac{\sqrt{143}i}{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{\frac{7}{2}±\frac{\sqrt{143}i}{2}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{7}{2} lukuun \frac{i\sqrt{143}}{2}.

$$t=\frac{7+\sqrt{143}i}{2\times 2}$$

Jaa \frac{7+i\sqrt{143}}{2} luvulla 2.

$$t=\frac{7+\sqrt{143}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{\frac{7}{2}±\frac{\sqrt{143}i}{2}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{i\sqrt{143}}{2} luvusta \frac{7}{2}.

$$t=\frac{-\sqrt{143}i+7}{2\times 2}$$

Jaa \frac{7-i\sqrt{143}}{2} luvulla 2.

$$t=\frac{-\sqrt{143}i+7}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{7+\sqrt{143}i}{4} t=\frac{-\sqrt{143}i+7}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+12=0$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+12-12=-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t=-12$$

Jaa -\frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{4}. Lisää sitten -\frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=-12+\frac{49}{16}$$

Lisää -12 lukuun \frac{49}{16}.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=-\frac{143}{16}$$

Jaa t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{143}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{143}{16}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{143}i}{4} t-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{143}i}{4}$$

Lisää \frac{7}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{7+\sqrt{143}i}{4} t=\frac{-\sqrt{143}i+7}{4}$$