Ratkaise q^2=q+1

$$q ^ { 2 } = q + 1$$

Ratkaise muuttujan q suhteen

$$q = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä q molemmilta puolilta.

$$q^{2}-q=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$q^{2}-q-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -1 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -1.

$$q=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 4.

$$q=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$q=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö q=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun \sqrt{5}.

$$q=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö q=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{5} luvusta 1.

$$q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$q=\frac{\sqrt{5}+1}{2} q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä q molemmilta puolilta.

$$q^{2}-q=1$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$q^{2}-q+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$q^{2}-q+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Lisää 1 lukuun \frac{1}{4}.

$$q^{2}-q+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Jaa q^{2}-q+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(q-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Sievennä.

$$q-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} q-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$q=\frac{\sqrt{5}+1}{2} q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$