Ratkaise n^2-4019n+2009^2=0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n = \frac{3 \sqrt{893} + 4019}{2} \approx 2054,324658392$$

$$n = \frac{4019 - 3 \sqrt{893}}{2} \approx 1964,675341608$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske 2009 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -4019 ja c luvulla 4036081 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 4036081}}{2}$$

Korota -4019 neliöön.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-4\times 4036081}}{2}$$

Kerro -4 ja 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-16144324}}{2}$$

Lisää 16152361 lukuun -16144324.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{8037}}{2}$$

Ota luvun 8037 neliöjuuri.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±3\sqrt{893}}{2}$$

Luvun -4019 vastaluku on 4019.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4019 lukuun 3\sqrt{893}.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{893} luvusta 4019.

$$n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske 2009 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Vähennä 4036081 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$n^{2}-4019n=-4036081$$

Jaa -4019 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4019}{2}. Lisää sitten -\frac{4019}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-4019n+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}=-4036081+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4019}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=-4036081+\frac{16152361}{4}$$

Lisää -4036081 lukuun \frac{16152361}{4}.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=\frac{8037}{4}$$

Jaa n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}=\frac{8037}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8037}{4}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{4019}{2}=\frac{3\sqrt{893}}{2} n-\frac{4019}{2}=-\frac{3\sqrt{893}}{2}$$

Lisää \frac{4019}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$