Ratkaise n^2-25n+144=0

$$n ^ { 2 } - 25 n + 144 = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n=9$$

$$n=16$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Jos haluat ratkaista kaavan, kerroin n^{2}-25n+144 käyttämällä kaavaa n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-25 ab=144$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -25.

$$a=-16 b=-9$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(n+a\right)\left(n+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(n-16\right)\left(n-9\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista n-16=0 ja n-9=0.

$$n=16 n=9$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon n^{2}+an+bn+144. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-25 ab=1\times 144=144$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -25.

$$a=-16 b=-9$$

Kirjoita \left(n^{2}-16n\right)+\left(-9n+144\right) uudelleen muodossa n^{2}-25n+144.

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(-9n+144\right)$$

Jaa n toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -9.

$$n\left(n-16\right)-9\left(n-16\right)$$

Jaa yleinen termi n-16 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(n-16\right)\left(n-9\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista n-16=0 ja n-9=0.

$$n=16 n=9$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$n^{2}-25n+144=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -25 ja c luvulla 144 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 144}}{2}$$

Korota -25 neliöön.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 144}}{2}$$

Kerro -4 ja 144.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-576}}{2}$$

Lisää 625 lukuun -576.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±7}{2}$$

Luvun -25 vastaluku on 25.

$$n=\frac{25±7}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{25±7}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 25 lukuun 7.

$$n=\frac{32}{2}$$

Jaa 32 luvulla 2.

$$n=16$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{25±7}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta 25.

$$n=\frac{18}{2}$$

Jaa 18 luvulla 2.

$$n=9$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=16 n=9$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-25n+144=0$$

Vähennä 144 yhtälön molemmilta puolilta.

$$n^{2}-25n+144-144=-144$$

Kun luku 144 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$n^{2}-25n=-144$$

Jaa -25 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{25}{2}. Lisää sitten -\frac{25}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-25n+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-144+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{25}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-25n+\frac{625}{4}=-144+\frac{625}{4}$$

Lisää -144 lukuun \frac{625}{4}.

$$n^{2}-25n+\frac{625}{4}=\frac{49}{4}$$

Jaa n^{2}-25n+\frac{625}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{25}{2}=\frac{7}{2} n-\frac{25}{2}=-\frac{7}{2}$$

Lisää \frac{25}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=16 n=9$$