Ratkaise k^2-k-4>0

$$k ^ { 2 } - k - 4 > 0$$

Ratkaise muuttujan k suhteen

$$k\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{17}+1}{2},\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$k^{2}-k-4=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -1 tilalle b ja muuttujan -4 tilalle c.

$$k=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$k=\frac{1±\sqrt{17}}{2}$$

Ratkaise yhtälö k=\frac{1±\sqrt{17}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$k=\frac{\sqrt{17}+1}{2} k=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\left(k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}\right)\left(k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} ja k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} ja k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} ovat molemmat negatiivisia.

$$k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}<0 k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}.

$$k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Tarkastele tapausta, jossa k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} ja k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} ovat molemmat positiivisia.

$$k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}>0 k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}.

$$k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}\text{; }k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$