Ratkaise f^2-3f=-5

$$f ^ { 2 } - 3 f = - 5$$

Ratkaise muuttujan f suhteen

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}\approx 1,5+1,658312395i$$

$$f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}\approx 1,5-1,658312395i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$f^{2}-3f=-5$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$f^{2}-3f-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$f^{2}-3f-\left(-5\right)=0$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$f^{2}-3f+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -3 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5}}{2}$$

Kerro -4 ja 5.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20}}{2}$$

Lisää 9 lukuun -20.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-11}}{2}$$

Ota luvun -11 neliöjuuri.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{11}i}{2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun i\sqrt{11}.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{11} luvusta 3.

$$f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2} f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$f^{2}-3f=-5$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$f^{2}-3f+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$f^{2}-3f+\frac{9}{4}=-5+\frac{9}{4}$$

Lisää -5 lukuun \frac{9}{4}.

$$f^{2}-3f+\frac{9}{4}=-\frac{11}{4}$$

Jaa f^{2}-3f+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(f-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Sievennä.

$$f-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} f-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2} f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$