Ratkaise a^2-4a+2=0

$$a ^ { 2 } - 4 a + 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a=\sqrt{2}+2\approx 3,414213562$$

$$a=2-\sqrt{2}\approx 0,585786438$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$a^{2}-4a+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -4 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2}}{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2}}{2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8}}{2}$$

Lisää 16 lukuun -8.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{8}}{2}$$

Ota luvun 8 neliöjuuri.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{2}}{2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$a=\frac{4±2\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{4±2\sqrt{2}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{2}.

$$a=\frac{2\sqrt{2}+4}{2}$$

Jaa 4+2\sqrt{2} luvulla 2.

$$a=\sqrt{2}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{4±2\sqrt{2}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{2} luvusta 4.

$$a=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}$$

Jaa 4-2\sqrt{2} luvulla 2.

$$a=2-\sqrt{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\sqrt{2}+2 a=2-\sqrt{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$a^{2}-4a+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$a^{2}-4a+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$a^{2}-4a=-2$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}-4a+\left(-2\right)^{2}=-2+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$a^{2}-4a+4=-2+4$$

Lisää -2 lukuun 4.

$$a^{2}-4a+4=2$$

Jaa a^{2}-4a+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-2\right)^{2}=2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a-2\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Sievennä.

$$a-2=\sqrt{2} a-2=-\sqrt{2}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$a=\sqrt{2}+2 a=2-\sqrt{2}$$