Ratkaise a^2-30a+9000=0

$$a ^ { 2 } - 30 a + 9000 = 0$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a=15+15\sqrt{39}i\approx 15+93,674969976i$$

$$a=-15\sqrt{39}i+15\approx 15-93,674969976i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$a^{2}-30a+9000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -30 ja c luvulla 9000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9000}}{2}$$

Korota -30 neliöön.

$$a=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9000}}{2}$$

Kerro -4 ja 9000.

$$a=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36000}}{2}$$

Lisää 900 lukuun -36000.

$$a=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{-35100}}{2}$$

Ota luvun -35100 neliöjuuri.

$$a=\frac{-\left(-30\right)±30\sqrt{39}i}{2}$$

Luvun -30 vastaluku on 30.

$$a=\frac{30±30\sqrt{39}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{30±30\sqrt{39}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 30 lukuun 30i\sqrt{39}.

$$a=\frac{30+30\sqrt{39}i}{2}$$

Jaa 30+30i\sqrt{39} luvulla 2.

$$a=15+15\sqrt{39}i$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{30±30\sqrt{39}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 30i\sqrt{39} luvusta 30.

$$a=\frac{-30\sqrt{39}i+30}{2}$$

Jaa 30-30i\sqrt{39} luvulla 2.

$$a=-15\sqrt{39}i+15$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=15+15\sqrt{39}i a=-15\sqrt{39}i+15$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$a^{2}-30a+9000=0$$

Vähennä 9000 yhtälön molemmilta puolilta.

$$a^{2}-30a+9000-9000=-9000$$

Kun luku 9000 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$a^{2}-30a=-9000$$

Jaa -30 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -15. Lisää sitten -15:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}-30a+\left(-15\right)^{2}=-9000+\left(-15\right)^{2}$$

Korota -15 neliöön.

$$a^{2}-30a+225=-9000+225$$

Lisää -9000 lukuun 225.

$$a^{2}-30a+225=-8775$$

Jaa a^{2}-30a+225 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-15\right)^{2}=-8775$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a-15\right)^{2}}=\sqrt{-8775}$$

Sievennä.

$$a-15=15\sqrt{39}i a-15=-15\sqrt{39}i$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$a=15+15\sqrt{39}i a=-15\sqrt{39}i+15$$