Ratkaise 9x^2-5x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}\approx 0,277777778+0,606039562i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}\approx 0,277777778-0,606039562i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -5 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36\times 4}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-144}}{2\times 9}$$

Lisää 25 lukuun -144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-119}}{2\times 9}$$

Ota luvun -119 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun i\sqrt{119}.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{119} luvusta 5.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$9x^{2}-5x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}-5x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}-5x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Jaa -\frac{5}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{18}. Lisää sitten -\frac{5}{18}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{18} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

Lisää -\frac{4}{9} lukuun \frac{25}{324} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{119}{324}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{119}{324}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{324}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{119}i}{18} x-\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{119}i}{18}$$

Lisää \frac{5}{18} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$