Ratkaise 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 25 molemmilta puolilta.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Vähennä 25 luvusta 9 saadaksesi tuloksen -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 9x^{2}+ax+bx-16. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 7.

$$a=-9 b=16$$

Kirjoita \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right) uudelleen muodossa 9x^{2}+7x-16.

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Jaa 9x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 16.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Vähennä 25 yhtälön molemmilta puolilta.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Kun luku 25 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Vähennä 25 luvusta 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla 7 ja c luvulla -16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Lisää 49 lukuun 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Ota luvun 625 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±25}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Jaa 18 luvulla 18.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±25}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 25 luvusta -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Supista murtoluku \frac{-32}{18} luvulla 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Vähennä 9 luvusta 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Jaa \frac{7}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{18}. Lisää sitten \frac{7}{18}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{18} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Lisää \frac{16}{9} lukuun \frac{49}{324} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Vähennä \frac{7}{18} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$