Ratkaise 9x^2+12x-24=0

$$9 x ^ { 2 } + 12 x - 24 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{2 \sqrt{7} - 2}{3} \approx 1,097167541$$

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}\approx -2,430500874$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}+12x-24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla 12 ja c luvulla -24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -24.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+864}}{2\times 9}$$

Lisää 144 lukuun 864.

$$x=\frac{-12±\sqrt{1008}}{2\times 9}$$

Ota luvun 1008 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 12\sqrt{7}.

$$x=\frac{12\sqrt{7}-12}{18}$$

Jaa -12+12\sqrt{7} luvulla 18.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12\sqrt{7} luvusta -12.

$$x=\frac{-12\sqrt{7}-12}{18}$$

Jaa -12-12\sqrt{7} luvulla 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+12x-24=0$$

Lisää 24 yhtälön kummallekin puolelle.

$$9x^{2}+12x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Kun luku -24 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}+12x=-\left(-24\right)$$

Vähennä -24 luvusta 0.

$$9x^{2}+12x=24$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=\frac{24}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=\frac{24}{9}$$

Supista murtoluku \frac{12}{9} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{24}{9}$$

Supista murtoluku \frac{24}{9} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{8}{3}$$

Jaa \frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{2}{3}. Lisää sitten \frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{3}+\frac{4}{9}$$

Lisää \frac{8}{3} lukuun \frac{4}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{28}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Vähennä \frac{2}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$