Ratkaise 9n^2-33n-1456=0

$$9 n ^ { 2 } - 33 n - 1456 = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n = \frac{\sqrt{5945} + 11}{6} \approx 14,683971017$$

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}\approx -11,017304351$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -33 ja c luvulla -1456 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Korota -33 neliöön.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-36\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -1456.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+52416}}{2\times 9}$$

Lisää 1089 lukuun 52416.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{53505}}{2\times 9}$$

Ota luvun 53505 neliöjuuri.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Luvun -33 vastaluku on 33.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 33 lukuun 3\sqrt{5945}.

$$n=\frac{3\sqrt{5945}+33}{18}$$

Jaa 33+3\sqrt{5945} luvulla 18.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{5945} luvusta 33.

$$n=\frac{33-3\sqrt{5945}}{18}$$

Jaa 33-3\sqrt{5945} luvulla 18.

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Lisää 1456 yhtälön kummallekin puolelle.

$$9n^{2}-33n-1456-\left(-1456\right)=-\left(-1456\right)$$

Kun luku -1456 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9n^{2}-33n=-\left(-1456\right)$$

Vähennä -1456 luvusta 0.

$$9n^{2}-33n=1456$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9n^{2}-33n}{9}=\frac{1456}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$n^{2}+\left(-\frac{33}{9}\right)n=\frac{1456}{9}$$

Supista murtoluku \frac{-33}{9} luvulla 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{1456}{9}$$

Jaa -\frac{11}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{6}. Lisää sitten -\frac{11}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1456}{9}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{1456}{9}+\frac{121}{36}$$

Lisää \frac{1456}{9} lukuun \frac{121}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{5945}{36}$$

Jaa n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{5945}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5945}{36}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{5945}}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{5945}}{6}$$

Lisää \frac{11}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$