Ratkaise 9x^2-6x+2=5x-6

$$9 { x }^{ 2 } -6x+2=5x-6$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{167}i}{18}\approx 0,611111111+0,717935999i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i+11}{18}\approx 0,611111111-0,717935999i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 5x molemmilta puolilta.

$$9x^{2}-6x+2-5x=-6$$

Selvitä -11x yhdistämällä -6x ja -5x.

$$9x^{2}-11x+2=-6$$

Lisää 6 molemmille puolille.

$$9x^{2}-11x+2+6=0$$

Selvitä 8 laskemalla yhteen 2 ja 6.

$$9x^{2}-11x+8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -11 ja c luvulla 8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 9\times 8}}{2\times 9}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 9\times 8}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-36\times 8}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-288}}{2\times 9}$$

Lisää 121 lukuun -288.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-167}}{2\times 9}$$

Ota luvun -167 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{167}i}{2\times 9}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{167}i}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{11±\sqrt{167}i}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{167}i}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun i\sqrt{167}.

$$x=\frac{11+\sqrt{167}i}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{167}i}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{167} luvusta 11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i+11}{18}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{11+\sqrt{167}i}{18} x=\frac{-\sqrt{167}i+11}{18}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 5x molemmilta puolilta.

$$9x^{2}-6x+2-5x=-6$$

Selvitä -11x yhdistämällä -6x ja -5x.

$$9x^{2}-11x+2=-6$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta.

$$9x^{2}-11x=-6-2$$

Vähennä 2 luvusta -6 saadaksesi tuloksen -8.

$$9x^{2}-11x=-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}-11x}{9}=-\frac{8}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}-\frac{11}{9}x=-\frac{8}{9}$$

Jaa -\frac{11}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{18}. Lisää sitten -\frac{11}{18}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{11}{9}x+\left(-\frac{11}{18}\right)^{2}=-\frac{8}{9}+\left(-\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{18} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=-\frac{8}{9}+\frac{121}{324}$$

Lisää -\frac{8}{9} lukuun \frac{121}{324} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=-\frac{167}{324}$$

Jaa x^{2}-\frac{11}{9}x+\frac{121}{324} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{18}\right)^{2}=-\frac{167}{324}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{324}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{167}i}{18} x-\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{167}i}{18}$$

Lisää \frac{11}{18} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{11+\sqrt{167}i}{18} x=\frac{-\sqrt{167}i+11}{18}$$