Ratkaise 9x^2+7x-2=0

$$9 { x }^{ 2 } +7x-2=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x=\frac{2}{9}\approx 0,222222222$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 9x^{2}+ax+bx-2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=7 ab=9\left(-2\right)=-18$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 7.

$$a=-2 b=9$$

Kirjoita \left(9x^{2}-2x\right)+\left(9x-2\right) uudelleen muodossa 9x^{2}+7x-2.

$$\left(9x^{2}-2x\right)+\left(9x-2\right)$$

Ota x tekijäksi lausekkeessa 9x^{2}-2x.

$$x\left(9x-2\right)+9x-2$$

Jaa yleinen termi 9x-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(9x-2\right)\left(x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 9x-2=0 ja x+1=0.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$9x^{2}+7x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla 7 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+72}}{2\times 9}$$

Lisää 49 lukuun 72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{121}}{2\times 9}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±11}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{-7±11}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±11}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 11.

$$x=\frac{4}{18}$$

Supista murtoluku \frac{4}{18} luvulla 2.

$$x=\frac{2}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±11}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta -7.

$$x=-\frac{18}{18}$$

Jaa -18 luvulla 18.

$$x=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$9x^{2}+7x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$9x^{2}+7x=-\left(-2\right)$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$9x^{2}+7x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{2}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{2}{9}$$

Jaa \frac{7}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{18}. Lisää sitten \frac{7}{18}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{18} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{2}{9}+\frac{49}{324}$$

Lisää \frac{2}{9} lukuun \frac{49}{324} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{121}{324}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{121}{324}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{324}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{11}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{11}{18}$$

Vähennä \frac{7}{18} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$