Ratkaise 8x^2+2x=21

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 21 molemmilta puolilta.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 8x^{2}+ax+bx-21. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 2.

$$a=-12 b=14$$

Kirjoita \left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right) uudelleen muodossa 8x^{2}+2x-21.

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

Jaa 4x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 7.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-3=0 ja 4x+7=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8x^{2}+2x=21$$

Vähennä 21 yhtälön molemmilta puolilta.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

Kun luku 21 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla 2 ja c luvulla -21 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja -21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

Lisää 4 lukuun 672.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Ota luvun 676 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±26}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 26.

$$x=\frac{24}{16}$$

Supista murtoluku \frac{24}{16} luvulla 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±26}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 26 luvusta -2.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Supista murtoluku \frac{-28}{16} luvulla 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x=21$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

Supista murtoluku \frac{2}{8} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

Jaa \frac{1}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{8}. Lisää sitten \frac{1}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

Lisää \frac{21}{8} lukuun \frac{1}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

Vähennä \frac{1}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$