Ratkaise 8x+2-3x^2+1=35-x^2

$$8 x + 2 - 3 x ^ { 2 } + 1 = 35 - x ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=2+2\sqrt{3}i\approx 2+3,464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i+2\approx 2-3,464101615i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 3 laskemalla yhteen 2 ja 1.

$$8x+3-3x^{2}=35-x^{2}$$

Vähennä 35 molemmilta puolilta.

$$8x+3-3x^{2}-35=-x^{2}$$

Vähennä 35 luvusta 3 saadaksesi tuloksen -32.

$$8x-32-3x^{2}=-x^{2}$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$8x-32-3x^{2}+x^{2}=0$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä -3x^{2} ja x^{2}.

$$8x-32-2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+8x-32=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 8 ja c luvulla -32 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-2\right)\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-2\right)\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+8\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -32.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-256}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 64 lukuun -256.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun -192 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 8i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8+8\sqrt{3}i}{-4}$$

Jaa -8+8i\sqrt{3} luvulla -4.

$$x=-2\sqrt{3}i+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i\sqrt{3} luvusta -8.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}i-8}{-4}$$

Jaa -8-8i\sqrt{3} luvulla -4.

$$x=2+2\sqrt{3}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2\sqrt{3}i+2 x=2+2\sqrt{3}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 3 laskemalla yhteen 2 ja 1.

$$8x+3-3x^{2}=35-x^{2}$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$8x+3-3x^{2}+x^{2}=35$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä -3x^{2} ja x^{2}.

$$8x+3-2x^{2}=35$$

Vähennä 3 molemmilta puolilta.

$$8x-2x^{2}=35-3$$

Vähennä 3 luvusta 35 saadaksesi tuloksen 32.

$$8x-2x^{2}=32$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+8x=32$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+8x}{-2}=\frac{32}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{8}{-2}x=\frac{32}{-2}$$

Jaa 8 luvulla -2.

$$x^{2}-4x=\frac{32}{-2}$$

Jaa 32 luvulla -2.

$$x^{2}-4x=-16$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-16+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=-16+4$$

Lisää -16 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=-12$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-12$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-12}$$

Sievennä.

$$x-2=2\sqrt{3}i x-2=-2\sqrt{3}i$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2+2\sqrt{3}i x=-2\sqrt{3}i+2$$