Ratkaise 8x^2-6x-4=0

$$8 { x }^{ 2 } -6x-4=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{41} + 3}{8} \approx 1,17539053$$

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}\approx -0,42539053$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8x^{2}-6x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla -6 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 8\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 8\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-32\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja -4.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+128}}{2\times 8}$$

Lisää 36 lukuun 128.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{164}}{2\times 8}$$

Ota luvun 164 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{41}}{2\times 8}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{41}}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2\sqrt{41}.

$$x=\frac{2\sqrt{41}+6}{16}$$

Jaa 6+2\sqrt{41} luvulla 16.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{41} luvusta 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{41}}{16}$$

Jaa 6-2\sqrt{41} luvulla 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-6x-4=0$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$8x^{2}-6x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$8x^{2}-6x=-\left(-4\right)$$

Vähennä -4 luvusta 0.

$$8x^{2}-6x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}-6x}{8}=\frac{4}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{8}\right)x=\frac{4}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{8} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{4}{8}$$

Supista murtoluku \frac{4}{8} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}$$

Jaa -\frac{3}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{8}. Lisää sitten -\frac{3}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{9}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Lisää \frac{3}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$