Ratkaise 8*x^2+6x=7

$$8 \cdot x ^ { 2 } + 6 x = 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{65}-3}{8}\approx 0,632782219$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-3}{8}\approx -1,382782219$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8x^{2}+6x=7$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$8x^{2}+6x-7=7-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$8x^{2}+6x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla 6 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja -7.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+224}}{2\times 8}$$

Lisää 36 lukuun 224.

$$x=\frac{-6±\sqrt{260}}{2\times 8}$$

Ota luvun 260 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{65}}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{65}}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{65}}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{65}.

$$x=\frac{2\sqrt{65}-6}{16}$$

Jaa -6+2\sqrt{65} luvulla 16.

$$x=\frac{\sqrt{65}-3}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{65}}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{65} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}-6}{16}$$

Jaa -6-2\sqrt{65} luvulla 16.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-3}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{65}-3}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-3}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+6x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}+6x}{8}=\frac{7}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}+\frac{6}{8}x=\frac{7}{8}$$

Supista murtoluku \frac{6}{8} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{7}{8}$$

Jaa \frac{3}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{8}. Lisää sitten \frac{3}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{7}{8}+\frac{9}{64}$$

Lisää \frac{7}{8} lukuun \frac{9}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{65}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Vähennä \frac{3}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{65}-3}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-3}{8}$$