Ratkaise 7+4x+5x^2=0

$$7+4x+5 { x }^{ 2 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}\approx -0,4+1,113552873i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}\approx -0,4-1,113552873i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 4 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 7}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-140}}{2\times 5}$$

Lisää 16 lukuun -140.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-124}}{2\times 5}$$

Ota luvun -124 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{31}i}{10}$$

Jaa -4+2i\sqrt{31} luvulla 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{31} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-4}{10}$$

Jaa -4-2i\sqrt{31} luvulla 10.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+4x+7-7=-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+4x=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{7}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Jaa \frac{4}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{2}{5}. Lisää sitten \frac{2}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{2}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{7}{5}+\frac{4}{25}$$

Lisää -\frac{7}{5} lukuun \frac{4}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{31}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{31}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{31}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{31}i}{5}$$

Vähennä \frac{2}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$